This site uses cookies.
Some of these cookies are essential to the operation of the site,
while others help to improve your experience by providing insights into how the site is being used.
For more information, please see the ProZ.com privacy policy.
This person has a SecurePRO™ card. Because this person is not a ProZ.com Plus subscriber, to view his or her SecurePRO™ card you must be a ProZ.com Business member or Plus subscriber.
Affiliations
This person is not affiliated with any business or Blue Board record at ProZ.com.
Services
Translation, Editing/proofreading
Expertise
Specializes in:
Science (general)
Physics
Mathematics & Statistics
Business/Commerce (general)
Astronomy & Space
Rates
Portfolio
Sample translations submitted: 1
English to Greek: Reflection symmetric asymptotically flat solutions of the Einstein equations General field: Science Detailed field: Physics
Source text - English About reflection symmetric, asymptotically flat solutions of the vacuum axistationary Einstein equations
Abstract
It is shown that an asymptotically flat solution of the stationary axisymmetric vacuum Einstein equations is reflection symmetric, if and only if its Ernst potential on a portion of the positive z-axis extending to infinity, , obeys:
( denotes complex conjugation).
For rational the above relation implies the form
for , a constant. These solutions are the superposition of Kerr particles on the axis of symmetry, for the balance of the parameters that corresponds to reflection symmetry.
1. Introduction
The study of the stationary axisymmetric Einstein equations has been quite fruitful in the last twenty years. It has been shown that these equations are integrable [1] and a variety of solutions has been obtained. Steady progress has also been made in the theory of multipole moments for stationary space-times (e.g. [4] and references therein).
It is known that up to certain conditions at infinity (usually asymptotic flatness) the Ernst potential on the symmetry axis (strictly speaking a portion of the symmetry axis since there might be singularities) fully determines the Ernst potential everywhere (strictly speaking a restriction of to a region where it is holomorphic [2]) and hence the metric. The desire therefore would be to reduce some of the physical properties of a given solution to certain conditions on the axis. This gives us the advantage that we can decide on the physical content of a solution from its behaviour on the axis, where the expression for the Ernst potential is usually simpler than the full expression. Moreover we can predetermine the physical content of a solution by taking the right form on the axis (or a portion of it) and then use one of the existing generating techniques (e.g. the Hauser-Ernst Homogeneous Hilbert problem [5] or a specialization for rational like Sibgatullin’s method [6]) to obtain the full solution everywhere.
In this direction we consider reflection symmetric, asymptotically flat vacuum solutions as solutions possessing such symmetry may be of astrophysical interest. Using results first obtained in the context of multipole moments theory we prove the following theorem (Theorem (3) of Section ( )), with the definitions , , a constant.
Theorem An asymptotically flat solution of the stationary axisymmetric Einstein equations is reflection symmetric iff its Ernst potential on a portion of the positive z axis extending to infinity, , obeys the relation
(1)
The relation (1) implies that in the case of rational , satisfies
(2)
The organisation of this paper is as follows. In Section ( ) we recall some of the results from multipole moments theory that are needed, as they are presented in Fodor, Hoenselaers and Perjés [8]. In Section ( ) we establish a necessary and sufficient condition for a metric to be reflection symmetric and then prove the Theorem stated above. Finally Section ( ) contains a discussion of the kind of solutions satisfying equation (2).
2. Results from multipole moments theory
The theory of gravitational multipole moments has been developed by Hansen [7] based on some original ideas by Geroch [3].
A three space ( , ) with positive-definite metric is called asymptotically flat if it can be conformally mapped to a manifold ( ) and,
• , where is a single point.
• , .
We have the Ernst potential
(3)
where is the norm and is the curl of the timelike Killing field K, which is locally a gradient and hence . One may form
(4)
and is assigned the conformal weight . Then following [8] we define the mass and the angular momentum potentials by
(5)
[Notice that by Theorem of Simon and Beig [4] the moments obtained from this definition of the potentials will be identical, up to a sign, with the moments obtained from Hansen’s potentials [7]]
The corresponding complex multipole tensors are defined [7]:
(6)
where denotes the trace-free symmetric part.
The values of the th multipole moment are given by
(7)
(we have included these definitions and definition (12) for closure since they are not needed for what follows). Now we specialise to stationary axisymmetric spacetimes. We write the metric in the canonical form
(8)
where the functions f, , depend only on and .
Then we have
(9)
The field equations break into two parts. The first one reduces to the Ernst equation for (or equivalently )
(10)
This equation can be solved by a variety of generating techniques. Once this equation has been solved, is known and in principle from (9) (although computations with (9) might be tedious). Then is obtained by quadratures from
(11)
Tensors on the symmetry axis have to be invariant under a rotation about the axis. Also lies on the axis and the only geometrical quantities invariant under the action of the axial Killing vector are outer products of the metric and the axis vector. Hence the multipole moments (7) are necessarily multiples of the symmetric trace-free outer product of the axis vector with itself. Hansen [7] has defined the scalar moments of axistationary spacetimes by
(12)
Following [8] we make the change of coordinates, , and drop the overbar. We let , where is the origin. Then and where . From ( ) one gets
(13)
We write (here is implicitly made an assumption about analyticity of , but Beig and Simon [4] have proved this for at least a neighbourhood of [??0]) where for the symmetry axis and putting in (10) one gets [8]
(14)
Using (14) one may express the constants in terms of which shows that is uniquely determined by its values on the axis. Moreover (14) implies that if is odd which is necessary for to be analytic at [8].
We are now ready to proceed to the main part of this paper.
3. Reflection symmetric solutions and their form on the axis
Firstly from (9) it is clear that if and are reflection symmetric then and hence also and vice versa (here by we mean the values of on the negative part of the -axis). Hence from (11) is reflection symmetric and hence the entire metric is so.
Moreover satisfies (since ) and since is analytic in a neighbourhood of and is in a sense the origin then its power series expansion coefficients will satisfy :
Condition is real if is even while is purely imaginary if is odd.
(A necessary and sufficient condition for a spacetime to be reflection symmetric might have been formulated in terms of multipole moments since by Theorem of [4] multipole moments define a spacetime uniquely. In fact it is not difficult to see from (6) and (12) that such a condition is that the multipole moments satisfy: real if even, pure imaginary if odd.)
Now, we shall prove a theorem which essentially shows that if a spacetime is reflection symmetric on the axis then it is so everywhere.
Theorem 1. (= ) satisfy the Condition for all
satisfy the Condition for all , .
Proof “ ”
It is useful to think of the as arranged in a plane where is the horizontal and is the vertical axis. Since if is odd we only need to represent even values of . We shall proceed as follows. First we will show that given the ( ) satisfy the Condition then the semi-infinite column satisfies the Condition. Then we shall assume that all for , for some value of satisfy the Condition. Proving that the satisfy the Condition will by induction prove the Theorem true for all .
: From (14) with
Now we assume that all satisfy the Condition for for some and prove true for .
If is even then is even. Thus either , , are all even or two of them are odd and one is even. In both cases the sum in is real and hence is real by our hypothesis.
If k is odd is odd . Thus either two of them are even and one odd or all three are odd. In both cases the sum in is purely imaginary and hence by our hypothesis is purely imaginary.
To complete our proof by induction we show its hypothesis is true for , .
For which is real by our hypothesis (that the satisfy the Condition). For which is purely imaginary by our hypothesis again.
Hence we have shown by induction that the column satisfies the Condition.
Now we assume all for , for some , satisfy the Condition and prove that the column satisfies the Condition. Hence by induction “ ” will be proved.
Since is even , , all have to be even for otherwise the sum in (14) is identically zero. We will show that the column satisfies the Condition by an induction on using (14). It is easy to check , . Again assume true for , for some and prove for . It is clear that if s is even is even and by a similar argument to the above the sum is real and hence is real. The argument for odd is exactly similar. Thus the column satisfies the Condition.
“ ”
It is obvious that if satisfies the Condition for all , is included.
Now we shall prove the rational case ie. relation (2).
Theorem 2. A stationary axisymmetric spacetime with rational Ernst potential in Weyl coordinates is reflection symmetric its Ernst potential on a portion of the positive -axis extending to infinity, , has the form
(15)
Proof “ ” On the positive -axis . Then using (15) we have that in a neighbourhood of where
where in the {}’s in the power are the same as those in the power of . It is clear that in both and the coefficients of even powers of are real and those of odd powers of are pure imaginary. Hence the coefficients of satisfy the Condition. Hence by Theorem so do those of and therefore the spacetime is reflection symmetric.
“ ”
Suppose the spacetime is reflection symmetric. Then the coefficients in the expansion of around satisfy the Condition and hence so do those of . Now, if we require asymptotic flatness and restrict to rational Ernst potentials we may represent as . Putting this in and requiring that even powers of be real and odd be pure imaginary (since must satisfy the Condition on a portion of the positive -axis extending to infinity by our hypothesis) we reach the following conditions
However these are the coefficients of two polynomials: one with roots and one with roots . Since the coefficients of the two polynomials are the same the polynomials are the same and hence they must have the same roots. Hence on a portion of the z-axis containing , after a possible relabelling of the roots.
The proof for the non-rational case is essentially the same although it looks simpler. We shall now state and prove the general theorem (of course Theorem (3) implies Theorem (2)). We have chosen to give the rational case first for historical reasons.
Theorem 3. A stationary axisymmetric spacetime is reflection symmetric its Ernst potential on a portion of the positive -axis extending to infinity, , obeys the functional relation
(16)
Proof One starts again from (again we are on the positive part of the -axis) and (4). That is
(17)
We send to (or equivalently to ) in the expression 17 (we have to think of this as an abstract mathematical operation). If satisfies the Condition then under the above operation it must obey , ie.
and hence satisfies (16). Conversely if satisfies (16) the operation to has the effect [from (17)] . Hence the coefficients of satisfy the Condition in the cross-section of a neighbourhood of and the positive part of the axis if and only if satisfies (16). Hence by Theorem (1) the proof is finished.
As an example consider Schwarzschild. Then where and . If we take then , and hence which conforms with relations (16), (15). If , and . To check reflection symmetry of take for some definite and then .
4. Discussion
We have established a nessecary and sufficient condition for a stationary axisymmetric spacetime to be reflection symmetric in terms purely of a relation on its Ernst potential on the axis of symmetry. The crucial assumption is that of asymptotic flatness and hence we may use equation (14). In particular no assumption is made about the form of the Ernst potential on the axis in the Theorem (3). Any non-rational function obeying (16) will give reflection symmetric axistationary solutions of Einstein’s equations. It is also interesting to note that although we do not need multipole moments for the proofs of Theorems (1), (2) and (3) the relations and the proofs become manifest when we consider the potential associated with them ie. . Further it may be possible to generalise relation (16) to a similar relation for the electrovac case. However in the presence of general sources, it is not obvious that there is a generalisation. In fact there is a counterexample: one can match Schwarzschild to the generally non-reflection symmetric Szekeres solutions [11,15].
We shall now present a discussion concerning essentially rational Ernst potentials. We have seen that Schwarzschild is covered by (15). Also it is obvious that Kerr is as well since on the axis ( ) .
Now, suppose we start from (15) with and . If we let then we have a Kerr solution and similarly if . Since the Ernst potential on the axis determines the metric uniquely ([??0], [2]) we may conclude that (15) represents the superposition of Kerr particles on the axis. This may be checked in the following way. If we start from the expressions of Yamazaki [10] for the double Kerr solution [14] and take the balance of the parameters that corresponds to reflection symmetry (in the notation of [10] this corresponds to , , , ) then the potential on the axis reduces to (15) with .
This corollary ties well with a theorem from solution-generating techniques that all asymptotically flat vacuum solutions rational on the axis (the theorem holds for Ernst potentials that are simply connected and regular at at least one part of the axis where one of the Killing vectors is timelike), are contained within the class that is obtained by the successive application of Belinsky-Zakharov double solitons, or Harrison or Neugebauer double-Bäcklund transformations [2,16].
Of course all limits thereof (eg. Schwarzschild particles with the right balance of parameters or Zipoy-Voorhees (Z-V) solutions) will be reflection symmetric and conform with the theorem (16) on the axis: e.g. Z-V has the potential [11] (which is evidently reflection symmetric) that reduces to on the axis. It is also easy to check that the Tomimatsu-Sato ( here meaning the usual T-S parameter) solutions conform with Theorem . Moreover T-S solutions have as their static limit the Z-V solutions. One may therefore be tempted to assume that on the axis the Tomimatsu-Sato has the form
(18)
(in analogy with the form of Z-V on the axis). However this does not seem to be the case. We have checked the case. If we represent [12]
(19)
with
(20)
then T-S is
whilst for with ,
(21)
(one should be careful in identifying Ernst potentials on the axis since they may correspond to different portions of the axis, e.g. in [12] the Ernst potential on a portion of the negative -axis extending to negative infinity is used in contrast with the case here). Then it is clear that the two cannot be equal under any identification of the parameters. It may be of interest to see the full solutions corresponding to (21), and (18) with non-rational . This may be the subject of a future investigation.
References
[1] (i) Belinsky, V.A. and Zakharov, V.E., Sov.Phys.-JETP 985 (1978). (ii) Harrison B.K., Phys.Rev.Lett. 1197 (1978). (iii) Maison D., J. Math. Phys. 871 (1979). (iv) Kinnersley W., J. Math. Phys. 1529 (1977). (v) Neugebauer G., J. Phys. A: Math. Gen. L67.
[2] Hauser, I., Ernst, J., J. Math. Phys. 1051 (1981).
[3] Geroch R., J. Math. Phys. 2580 (1970).
[4] Simon W., Beig R., J. Math. Phys. 1163 (1983).
[5] Hauser I., Ernst F.J., J. Math. Phys. 1126 (1980).
[6] Manko V.S., Sibgatullin N.R., CQG 1383 (1993).
[7] Hansen R.O., J. Math. Phys. 46 (1974).
[8] Fodor G., Hoenselaers C. Perjés Z., J. Math. Phys., 2252 (1989).
[9] Hoenselaers C., in “Gravitational Collapse and Relativity”, Proceedings of Yamada Conference XIV, Sato H. and Nakamura T. (eds), World Scientific (1986).
[10] Yamazaki, M., in “Solutions of Einstein’s equations: Techniques and results”, Hoenselaers C. and Dietz W. (eds), Springer-Verlag (1984).
[11] Kramer D., Stephani H., MacCallum M.A.H., Herlt, E., “Exact solutions of Einstein’s equations”, CUP (1980) (Berlin: Deutsche Verlag).
[12] Ernst F.J., Phys. Rev. D 4993 (1994).
[13] Kramer D., Stephani , MacCallum M.A.H., Herlt E., “Exact solutions of Einstein’s field equations”, CUP (1980).
[14] Kramer D., Neugebauer G., Phys. Lett. A 259 (1980).
[15] Bonnor, Commun. Math. Phys., , 191 (1976).
[16] Cosgrove C.M., J. Math. Phys., 2624 (1981).
[17] Neugebauer G., Meinel R., Ap.J. , L97 (1993).
[18] Meinel R., Neugebauer G., (Jena MPG preprint)
Translation - Greek
Ανακλαστικά συμμετρικές, ασυμπτωτικά επίπεδες λύσεις των εξισώσεων Αϊνστάιν στο κενό με συμμετρία άξονα και στασιμότητας
Περίληψη. Αποδεικνύεται ότι μία ασυμπτωτικά επίπεδη λύση των στάσιμων και αξονοσυμμετρικών εξισώσεων Αϊνστάϊν είναι ανακλαστικά συμμετρική εαν και μόνο εαν το δυναμικό Ερνστ σε ένα τμήμα του θετικού άξονα z εκτεινόμενου στο άπειρο, , υπακούει στη σχέση:
(όπου είναι ο συζυγής μυγαδικός ).
Για ρητό η παραπάνω σχέση συνεπάγεται τη μορφή
για , όπου σταθερά. Οι λύσεις αυτές είναι η επαλληλία σωμάτιων Κερ στον άξονα συμμετρίας, για τη σχέση των παραμέτρων που αντιστοιχεί σε ανακλαστική συμμετρία.
1. Εισαγωγή
Η μελέτη των στάσιμων αξονοσυμμετρικών εξισώσεων Αϊνστάιν έχει αποβεί καρποφόρα τα τελευτaία είκοσι χρόνια. Έχει αποδειχτεί ότι οι εξισώσεις αυτές είναι ολοκληρώσιμες [1] και μια ποικιλία λύσεων έχει βρεθεί. Σταθερή πρόοδος έχει επιτευχθεί επίσης στη θεωρία των πολυπολικών ροπών για στάσιμους χωρο-χρόνους (βλ. [4] και παραπομπές μέσα εκεί).
Είναι γνωστό ότι, δεδομένων κάποιων συνθηκών στο άπειρο (συνήθως ασυμπτωτικά επίπεδος χωροχρόνος), το δυναμικό Ερνστ στον άξονα συμμετρίας (αυστηρά: σε ένα τμήμα του άξονα συμμετρίας μιας και ενδέχεται να υπάρχουν ανωμαλίες) ορίζει πλήρως το δυναμικό Ερνστ παντού (αυστηρά: σε ένα περιορισμό του δυναμικού σε μια περιοχή U όπου είναι ολομορφικό [2]) και άρα τη μετρική. Θα ήταν λοιπόν επιθυμητό να ανάγουμε κάποιες από τις φυσικές ιδιότητες μιας δεδομένης λύσης σε κάποιες συνθήκες στον άξονα συμμετρίας. Αυτό μας προσφέρει το πλεονέκτημα να αποφασίσουμε σχετικά με το φυσικό περιεχόμενο μιας λύσης από την συμπεριφορά της στον άξονα, όπου η παράσταση του δυναμικού Ερνστ είναι συνήθως απλούστερη της πλήρους παράστασης. Επιπλέον, μπορούμε να ορίσουμε προκαταβολικά το φυσικό περιεχόμενο μιας λύσης παίρνοντας την κατάλληλη μορφή στον άξονα συμμετρίας (ή σε ένα τμήμα του) και κατόπιν να χρησιμοποιήσουμε μια από τις υπάρχουσες μεθόδους παραγωγής λύσεων (π.χ. τη μέθοδο ομογενούς προβλήματος Hilbert των Hauser-Ernst [5] ή μια εξειδίκευση για ρητό όπως η μέθοδος Sibgatullin [6]) για να εξάγουμε την πλήρη λύση παντού.
Στην κατεύθυνση αυτή θεωρούμε ανακλαστικά συμμετρικές, ασυμπτωτικά επίπεδες λύσεις στο κενό μιας και αυτές έχουν ενδιαφέρον στην αστροφυσική. Χρησιμοποιώντας αποτελέσματα εξαχθέντα πρώτα στη θεωρία πολυπολικών ροπών αποδεικνύουμε το ακόλουθο θεώρημα (θεώρημα 3 τμήμα 3), όπου , , σταθερά.
Θεώρημα. Μία ασυμπτωτικά επίπεδη λύση των στάσιμων αξονοσυμμετρικών εξισώσεων Αϊνστάϊν είναι ανακλαστικά συμμετρική εάν και μόνο εάν το δυναμικό Ερνστ της σε ένα τμήμα του θετικού άξονα των z επεκτεινόμενου έως το άπειρο, ,υπακούει στη σχέση
(1)
Η σχέση (1) συνεπάγεται ότι στην περίπτωση όπου ρητό, το υπακούει στη σχέση
(2)
Η παρούσα εργασία είναι οργανωμένη ως ακολούθως. Στο τμήμα 2 ανακεφαλαιώνουμε κάποια αποτελέσματα από τη θεωρία πολυπολικών ροπών που χρειάζονται για την απόδειξη των θεωρημάτων, όπως έχουν παρουσιαστεί στο Fodor, Hoenselaers and Perjés [8]. Στο τμήμα 3 αποδεικνύουμε μία αναγκαία και ικανή συνθήκη που καθιστά μια μετρική ανακλαστικά συμμετρική και αποδεικνύουμε το ως άνω θεώρημα. Τελειώνοντας, το τμήμα 4 περιλαμβάνει μια συζήτηση σχετικά με το είδος λύσεων που πληρούν τη σχέση (2).
2. Αποτελέσματα από τη θεωρία πολυπολικών ροπών
Η θεωρία των βαρυτικών πολυπολικών ροπών έχει αναπτυχθεί από τον Hansen [7] με βάση κάποιες πρωτότυπες ιδέες του Geroch [3].
Ένας τρισδιάστατος χώρος ( , ) με θετική-ωρισμένη μετρική λέγεται ασυμπτωτικά επίπεδος εάν μπορεί να απεικονισθεί σύμμορφα προς μία πολλαπλότητα ( ) και,
• , όπου ένα σημείο.
• , .
Έχουμε το δυναμικό Ερνστ
(3)
όπου είναι η νόρμα και είναι η συντροφή του χρονότροπου ανύσματος Killing K, το οποίο είναι τοπικά ανάδελτα και επομένως . Μπορούμε να γράψουμε
(4)
και στο προσδιορίζεται ο σύμμορφος συντελεστής . Ακολουθώντας το [8] ορίζουμε τα δυναμικά μάζας και στροφορμής ως
(5)
[Σημειώστε ότι από το θεώρημα των Simon and Beig [4] οι ροπές που θα εξαχθούν από αυτό τον ορισμό των δυναμικών θα είναι πανομοιότυπες, με μόνη πιθανή διαφορά το πρόσημο, με τις ροπές που θα εξαχθούν από τα δυναμικά του Hansen[7].]
Οι αντίστοιχοι μιγαδικοί πολυπολικοί τανυστές ορίζονται ως[7]:
(6)
όπου υποδεικνύει το χωρίς ίχνος συμμετρικό μέρος.
Οι τιμές της στής πολυπολικής ροπής δίνονται από
(7)
(συμπεριλαμβάνουμε αυτούς τους ορισμούς και τον ορισμό (12) για λόγους συνέπειας αφού δεν χρειάζονται σε ότι ακολουθεί). Τώρα εξειδικεύουμε σε στάσιμους χωροχρόνους με συμμετρία άξονα. Γράφουμε τη μετρική στην κανονική μορφή
(8)
όπου οι συναρτήσεις f, , εξαρτώνται από και μόνο.
Έπειτα έχουμε
(9)
Οι εξισώσεις πεδίου χωρίζονται σε δύο μέρη. Το πρώτο ανάγεται στην εξίσωση Ernst για το (ή ισοδύναμα για το )
(10)
Η εξίσωση αυτή μπορεί να λυθεί από μια ποικιλία μεθόδων παραγωγής λύσεων. Αφού λυθεί αυτή η εξίσωση, η είναι γνωστή και κατ’ αρχήν και η είναι γνωστή από την (9) (παρότι οι υπολογισμοί με την (9) μπορεί να είναι επίπονοι). Το εξάγεται μέσω τετραγωνισμών από τις εξισώσεις
(11)
Τανυστές στον άξονα συμμετρίας πρέπει να είναι αμετάβλητοι ως προς στροφές γύρω από τον άξονα συμμετρίας. Επίσης το σημείο βρίσκεται πάνω στον άξονα και οι μόνες γεωμετρικές ποσότητες αμετάβλητες υπό τη δράση ενός αξονικού ανύσματος Killing είναι εξωτερικά γινόμενα της μετρικής και του αξονικού ανύσματος. Εκ τούτου οι πολυπολικές ροπές (7) είναι, αναγκαία, πολλαπλάσια του συμμετρικού άϊχνου εξωτερικού γινόμενου του αξονικού ανύσματος με τον εαυτό του. Ο Hansen [7] έχει ορίσει τις βαθμωτές ροπές των αξονοσυμμετρικών χωροχρόνων ως
(12)
Ακολουθώντας το [8] αλλάζουμε τις συντεταγμένες σε , και παραλείπουμε την περισπωμένη. Ορίζουμε , όπου η αρχή των συντεταγμένων. Έπειτα και όπου . Από την ( ) συνεπάγεται
(13)
Γράφουμε (εδώ παραδεχόμαστε έμμεσα ότι το είναι αναλιτικό, αλλά οι Beig και Simon [4] το έχουν αποδείξει τουλάχιστον για μια περιοχή γύρω από το [9]) όπου για τον άξονα συμμετρίας και θέτοντας αυτά στην (10) εξάγουμε [8]
(14)
Χρησιμοποιώντας την (14) μπορούμε να εκφράσουμε τις σταθερές αναφορικά με τις το οποίο δείχνει ότι το καθορίζεται μοναδικά από τις τιμές του στον άξονα . Επιπλέον η (14) συνεπάγεται ότι εάν περριτό το οποίο είναι αναγκαίο για την αναλιτικότητα του στο [8].
Είμαστε τώρα έτοιμοι να προχωρήσουμε στο κυρίως μέρος αυτής της εργασίας.
3. Ανακλαστικά συμμετρικές λύσεις και η μορφή τους στον άξονα
Κατ’ αρχήν από την (9) είναι προφανές ότι εάν οι και είναι ανακλαστικά συμμετρικές τότε και επομένως επίσης και τανάπαλιν (εδώ με την έκφραση εννοούμε τις τιμές της στο αρνητικό κομμάτι του άξονα των ). Εξ ου από την (11) η είναι ανακλαστικά συμμετρική και αυτό συνεπάγεται το ίδιο και για τη μετρική.
Επεπλέον η επαληθεύει τη σχέση (αφού ) και μιας και η είναι αναλιτική σε μια περιοχή του , και το είναι υπό μία έννοια η αρχή των συντεταγμένων, τότε οι συντελεστές του αναπτύγματος της σειράς δυνάμεών του, ικανοποιούν:
Συνθήκη είναι πραγματικός εάν είναι άρτιος ενώ είναι καθαρά μιγαδικός εάν είναι περιττός.
(Μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι ένας χωροχρόνος ανακλαστικά συμμετρικός θα μπορούσε να είχε διατυπωθεί δια των πολυπολικών ροπών αφού από το θεώρημα του [4] οι πολυπολικές ροπές καθορίζουν ένα χωροχρόνο μονοσήμαντα. Πράγματι δεν είναι δύσκολο να συμπεράνει κανείς από την (6) και την (12) ότι μια τέτοια συνθήκη είναι ότι οι πολυπολικές ροπές ικανοποιούν: πραγματικός εάν άρτιος, καθαρά μιγαδικός εάν περιττός.)
Τώρα, θα αποδείξουμε ένα θεώρημα το οποίο ουσιαστικά σημαίνει ότι εάν ένας χωροχρόνος είναι ανακλαστικά συμμετρικός στον άξονα τότε είναι ανακλαστικά συμμετρικός παντού.
Θεώρημα 1. (= ) ικανοποιούν την Συνθήκη για κάθε
ικανοποιούν την Συνθήκη για κάθε , .
Απόδειξη “ ”
Θα αποδειχθεί χρήσιμο εάν υποθέσουμε ότι οι συντελεστές είναι διατεταγμένοι σε ένα επίπεδο όπου είναι ο οριζόντιος και είναι ο κάθετος άξονας. Μιας και εάν είναι άρτιος χρειάζεται να απεικονίσουμε μόνο άρτιες δυνάμεις του . Θα προχωρήσουμε ως εξής. Πρώτα θα δείξουμε ότι δεδομένου ότι οι συντελεστές ( ) επαληθεύουν την Συνθήκη τότε ο ημι-άξονας επαληθεύει την Συνθήκη. Έπειτα θα υποθέσουμε ότι για κάθε με , για κάποια τιμή ικανοποιούν την Συνθήκη. Αποδεικνύοντας ότι οι συντελεστές ικανοποιούν την Συνθήκη θα έχουμε αποδείξει δια της επαγωγής το Θεώρημα για κάθε , .
: Από την (14) με
Υποθέτουμε ότι όλοι οι ικανοποιούν την Συνθήκη με για κάποιο και αποδεικνύουμε ότι αληθεύει για .
Εάν το είναι άρτιος τότε is άρτιος. Έτσι είτε , , είναι όλοι άρτιοι αριθμοί είτε δύο από αυτούς είναι περιττοί και ένας είναι άρτιος. Και στις δύο περιπτώσεις το άθροισμα στην είναι πραγματικός και έτσι ο είναι πραγματικός εκ της υποθέσεως.
Εάν το k είναι περιττός το άθροισμα είναι περιττός. Έτσι είτε δύο εκ των τριών αριθμών είναι άρτιοι και ένας περιττός, ή και οι τρεις είναι περιττοί. Και στις δύο περιπτώσεις το το άθροισμα στην είναι καθαρός μιγαδικός και έτσι εκ της υποθέσεως οι συντελεστές είναι καθαρά μιγαδικοί.
Για να ολοκληρώσουμε αποδεικνύουμε ότι η υπόθεση αληθεύει για , .
Για το οποίο είναι πραγματικός εκ της υπόθεσής μας (δηλαδή ότι τα ικανοποιούν την Συνθήκη). Για το οποίο είναι καθαρά μιγαδικός εκ της υπόθεσής μας πάλι.
Τουτέστιν έχουμε αποδείξει με επαγωγή ότι η στήλη ικανοποιεί την Συνθήκη.
Τώρα δεχόμαστε ότι όλοι οι συντελεστές όπου , για κάποιο , ικανοποιούν την Συνθήκη και δείχνουμε ότι η στήλη ικανοποιεί την Συνθήκη. Έτσι με επαγωγή “ ” θα έχει αποδειχθεί.
Εφόσον είναι άρτιος , , πρέπει να είναι όλοι άρτιοι γιατί αλλιώς το άθροισμα στην (14) πρέπει να είναι ταυτόσημα μηδέν. Θα δείξουμε ότι η στήλη ικανοποιεί την Συνθήκη με επαγωγή στο χρησιμοποιώντας την (14). Είναι απλό να επιβεβαιώσουμε αυτό για , . Πάλι δεχόμαστε ότι αληθεύει για , για κάποιο και αποδεικνύουμε για . Είναι σαφές ότι εάν s είναι άρτιος, είναι άρτιος και με ένα συλλογισμό όμοιο όπως παραπάνω το άθροισμα είναι πραγματικός και έτσι οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί. Το επιχείρημα για s περιττό είναι ακριβώς το ίδιο. Έτσι η στήλη ικανοποιεί την Συνθήκη.
“ ”
Είναι προφανές ότι εάν ικανοποιεί την Συνθήκη για κάθε , το συμπεριλαμβάνεται.
Τώρα θα αποδείξουμε τη σχέση (2).
Θεώρημα 2. Ένας στάσιμος αξονοσυμμετρικός χωροχρόνος με δυναμικό Ernst ρητό, σε συντεταγμένες Weyl είναι ανακλαστικά συμμετρικός το δυναμικό του Ernst σε ένα τμήμα του θετικού άξονα των εκτεινόμενου στο άπειρο, , έχει τη μορφή
(15)
Απόδειξη “ ” Στον άξονα , . Χρησιμοποιώντας την (15), σε μια περιοχή του έχουμε όπου
όπου στο οι παρενθέσεις {} στη δύναμη είναι ίδιες με αυτές στη δύναμη του . Είναι σαφές ότι και στις δύο εκφράσεις και οι συντελεστές των άρτιων δυνάμεων του είναι πραγματικοί και εκείνοι των περιττών δυνάμεων του είναι καθαρά μιγαδικοί. Αυτό συνεπάγεται ότι οι συντελεστές του ικανοποιούν την Συνθήκη. Έτσι από το Θεώρημα το ίδιο ισχύει και για αυτούς του και ο χωροχρόνος είναι ανακλαστικά συμμετρικός.
“ ”
Υποθέτουμε ότι ο χωροχρόνος είναι ανακλαστικά συμμετρικός. Τότε οι συντελεστές στο ανάπτυγμα του γύρω από το ικανοποιούν την Συνθήκη και εξ ου το ίδιο ισχύει και για αυτούς του . Εάν απαιτήσουμε ασυμπτωτική επιπεδότητα και περιοριστούμε σε ρητά δυναμικά Εrnst μπορούμε να αναπαραστήσουμε το e ως . Θέτοντας στο και απαιτώντας ότι οι άρτιες δυνάμεις του πρέπει να είναι πραγματικοί αριθμοί και οι περιττές να είναι καθαρά μιγαδικοί (αφού το πρέπει να ικανοποιεί την Συνθήκη σε ένα τμήμα του θετικού άξονα εκτεινόμενου στο άπειρο εκ της υποθέσεώς μας) φτάνουμε στις ακόλουθες συνθήκες
Όμως αυτοί είναι οι συντελεστές δύο πολυώνυμων: ένα με ρίζες και ένα με ρίζες . Αφού οι συντελεστές των δύο πολυώνυμων είναι ίδιοι τα πολυώνυμα είναι ίδια και έτσι πρέπει να έχουν τις ίδιες ρίζες. Έτσι σε ένα τμήμα του άξονα z που εμπεριέχει το , έπειτα από πιθανό αναβαπτισμό των ριζών.
Η απόδειξη στην περίπτωση όπου e είναι πραγματικός είναι στην ουσία η ίδια παρότι μοιάζει πιο απλή. Τώρα θα αποδείξουμε το γενικό Θεώρημα (φυσικά το Θεώρημα (3) συνεπάγεται το Θεώρημα(2)).
Θεώρημα 3. Ένας στάσιμος αξονοσυμμετρικός χωροχρόνος είναι ανακλαστικά συμμετρικός το δυναμικό Ernst του σε ένα τμήμα του θετικού άξονα εκτεινόμενου στο άπειρο, , ακολουθεί τη συναρτησιακή σχέση
(16)
Απόδειξη Ξεκινάμε πάλι από τη σχέση (βρισκόμαστε στο θετικό τμήμα του άξονα ) και την (4). Αυτό συνεπάγεται
(17)
Μετασχηματίζουμε το στο (ή αντίστοιχα το στο ) στην εξίσωση 17 (πρέπει να το αντιλαμβάνεται κανείς αυτό ως μια αφηρημένη μαθηματική δράση). Εάν ικανοποιεί την Συνθήκη τότε υπό την ως άνω δράση πρέπει να ικανοποιεί , δηλαδή
και το ικανοποιεί την (16). Αντιστρόφως εάν το ικανοποιεί την (2) η δράση στο έχει το αποτέλεσμα [από την (17)] . Έτσι οι συντελεστές του ικανοποιούν την Συνθήκη στη διατομή μιας περιοχής του και του θετικού τμήματος του άξονα εάν και μόνο εάν το ικανοποιεί την (16). Έτσι από το Θεώρημα (1) η απόδειξη έχει τελειώσει.
Ως παράδειγμα θεωρούμε τον χωροχρόνο Schwarzschild. Τότε όπου and . Εάν πάρουμε τότε , και εκ τούτου το οποίο συμφωνεί με τις σχέσεις (2), (1). Εάν , και . Για να ελέγξουμε την ανακλαστική συμμετρία του παίρνουμε για ωρισμένο και τότε .
4. Συζήτηση
Έχουμε αποδείξει μια αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι ανακλαστικά συμμετρικός ένας στάσιμος και αξονοσυμμετρικός χωροχρόνος καθαρά συναρτήσει μιας σχέσης του δυναμικού του Ernst στον άξονα συμμετρίας. Η κρίσιμη παραδοχή είναι η ασυμπτωτική επιπεδότητα και έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (14). Ειδικά δεν γίνεται καμμία παραδοχή σχετικά με τη μορφή του δυναμικού Ernst στον άξονα στο Θεώρημα (3). Οποιαδήποτε μη ρητή συνάρτηση που ικανοποιεί την (16) θα παράγει ανακλαστικά συμμετρικές αξονοσυμμετρικές λύσεις των εξισώσεων Αϊνστάιν. Είναι επίσης ενδιαφέρον να σημειώσουμε ότι παρότι δεν χρειαζόμαστε πολυπολικές ροπές για τις αποδείξεις των Θεωρημάτων (1), (2) and (3) οι σχέσεις και οι αποδείξεις γίνονται έκδηλες όταν θεωρούμε το δυναμικό με το οποίο συσχετίζονται δηλαδή το . Περαιτέρω πιθανόν να είναι δυνατόν να γενικευτεί η σχέση (16) προς μια παρόμοια σχέση για την περίπτωση που είναι παρόντα ηλεκτρομαγνητικά πεδία. Όμως δεν είναι καθόλου προφανές ότι εάν υπάρχουν άλλου είδους πηγές οι σχέσεις γενικεύονται. Τω όντι, υπάρχει ένα αντι-παράδειγμα: ο χωροχρόνος Schwarzschild μπορεί να προσαρμοστεί στις μη ανακλαστικά συμμετρικές λύσεις Szekeres [11,15].
Τώρα θα παρουσιάσουμε μια συζήτηση που αφορά ουσιαστικά ρητά δυναμικά Ernst. Είδαμε ότι η λύση Schwarzschild καλύπτεται από την (15). Επίσης είναι προφανές ότι η λύση Kerr επίσης καλύπτεται από τη συγκεκριμένη σχέση μιας και στον άξονα ( ) .
Τώρα, ας υποθέσουμε ότι ξεκινάμε από την (15) με και . Εάν θέσουμε τότε έχουμε μια λύση Kerr και παρομοίως για . Αφού το δυναμικό Ernst στον άξονα καθορίζει τη μετρική μονοσήμαντα ([9], [2]) μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η (15) αντιπροσωπεύει την επαλληλία σωμάτων Kerr στον άξονα. Αυτό μπορεί να επιβεβαιωθεί κατά τον ακόλουθο τρόπο. Εάν εκκινήσουμε από τις εκφράσεις του Yamazaki [10] για τη διπλή λύση Kerr [14] και θέσουμε τη σχέση των παραμέτρων που αντιστοιχεί σε ανακλαστική συμμετρία (στο συμβολισμό του[10] αυτό αντιστοιχεί στις σχέσεις , , , ) τότε το δυναμικό στον άξονα ανάγεται στην (15) με .
Αυτό το επακολούθημα συμφωνεί με ένα θεώρημα των τεχνικών παραγωγής λύσεων το οποίο λέει ότι όλες οι ασυμπτοτικά επίπεδες λύσεις οι οποίες είναι ρητές στον άξονα (το θεώρημα ισχύει για δυναμικά Ernst τα οποία είναι απλώς συνεκτικά και ομαλά σε τουλάχιστον ένα τμήμα του άξονα όπου ένα από τα ανύσματα Killing είναι χρονοειδές), συμπεριλαμβάνονται στην κλάση των λύσεων που εξάγονται με την διαδοχική εφαρμογή των μετασχηματισμών διπλών Belinsky-Zakharov σολιτόνιων, ή Harrison ή Neugebauer διπλών Bäcklund μετασχηματισμών [2,16].
Φυσικά όλα τα όρια εξ αυτού (π.χ. σωμάτια Schwarzschild με τη σωστή ισορροπία των παραμέτρων ή Zipoy-Voorhees (Z-V) λύσεις) θα είναι ανακλαστικά συμμετρικά και συμμορφούνται με το θεώρημα (16) στον άξονα: οι λύσεις Z-V έχουν το δυναμικό [11] (το οποίο είναι προφανώς ανακλαστικά συμμετρικό) το οποίο ανάγεται στο στον άξονα. Είναι επίσης εύκολο να ελεγθεί ότι οι λύσεις Tomimatsu-Sato ( είναι εδώ η συνήθης T-S παράμετρος) συμμορφούνται με το Θεώρημα . Επιπλέον οι λύσεις T-S έχουν ως στατικό όριο τις λύσεις Z-V. Εκ τούτου μπορεί κάποιος να παρασυρθεί υποθέτοντας ότι στον άξονα οι λύσεις Tomimatsu-Sato έχουν τη μορφή
(18)
(σε αναλογία με τη μορφή των λύσεων Z-V στον άξονα). Όμως αυτό δεν μοιάζει να ισχύει. Έχουμε ελέγξει την περίπτωση . Εάν αναπαραστήσουμε [12]
(19)
με
(20)
τότε η λύση T-S με είναι
ενώ για τη με ,
(21)
(χρειάζεται προσοχή όταν ταυτοποιούμε δυναμικά Ernst στον άξονα αφού μπορεί να αντιστοιχούν σε διαφορετικά τμήματα του άξονα, π.χ. στο [12] το δυναμικό Ernst σε ένα τμήμα του αρνητικού άξονα των εκτεινόμενου στο αρνητικό άπειρο έχει χρησιμοποιηθεί σε αντίθεση με την πρακτική στο παρόν). Έτσι είναι σαφές ότι οι δύο παραπάνω εκφράσεις δεν μπορούν να εξισωθούν υπό καμία ταυτοποίηση των παραμέτρων. Θα ήταν ενδιαφέρον να δει κανείς τις πλήρεις λύσεις που αντιστοιχούν στις (21), και (18) με μη ρητό . Αυτό πιθανώς να γίνει το υποκείμενο μιας μελλοντικής εργασίας.
Βιβλιογραφία
[1] (i) Belinsky, V.A. and Zakharov, V.E., Sov.Phys.-JETP 985 (1978). (ii) Harrison B.K., Phys.Rev.Lett. 1197 (1978). (iii) Maison D., J. Math. Phys. 871 (1979). (iv) Kinnersley W., J. Math. Phys. 1529 (1977). (v) Neugebauer G., J. Phys. A: Math. Gen. L67.
[2] Hauser, I., Ernst, J., J. Math. Phys. 1051 (1981).
[3] Geroch R., J. Math. Phys. 2580 (1970).
[4] Simon W., Beig R., J. Math. Phys. 1163 (1983).
[5] Hauser I., Ernst F.J., J. Math. Phys. 1126 (1980).
[6] Manko V.S., Sibgatullin N.R., CQG 1383 (1993).
[7] Hansen R.O., J. Math. Phys. 46 (1974).
[8] Fodor G., Hoenselaers C. Perjés Z., J. Math. Phys., 2252 (1989).
[9] Hoenselaers C., in “Gravitational Collapse and Relativity”, Proceedings of Yamada Conference XIV, Sato H. and Nakamura T. (eds), World Scientific (1986).
[10] Yamazaki, M., in “Solutions of Einstein’s equations: Techniques and results”, Hoenselaers C. and Dietz W. (eds), Springer-Verlag (1984).
[11] Kramer D., Stephani H., MacCallum M.A.H., Herlt, E., “Exact solutions of Einstein’s equations”, CUP (1980) (Berlin: Deutsche Verlag).
[12] Ernst F.J., Phys. Rev. D 4993 (1994).
[13] Kramer D., Stephani , MacCallum M.A.H., Herlt E., “Exact solutions of Einstein’s field equations”, CUP (1980).
[14] Kramer D., Neugebauer G., Phys. Lett. A 259 (1980).
[15] Bonnor, Commun. Math. Phys., , 191 (1976).
[16] Cosgrove C.M., J. Math. Phys., 2624 (1981).
[17] Neugebauer G., Meinel R., Ap.J. , L97 (1993).
[18] Meinel R., Neugebauer G., (Jena MPG preprint)
More
Less
Experience
Years of experience: 15. Registered at ProZ.com: Jul 2009.
Portfolio